x->0时，e的tanx次方减去e的x次方与x的n次方是同阶无穷小，求n

再看你的问题
1.e^(tanx)=1+tanx+o(x), e^(sinx)=1+sinx+o(x)
因此e^(tanx)-e^(sinx)=tanx-sinx+o(x)=x^3/2+o(x^3)+o(x)=o(x)
注意，这一步是对的，因为都是等式，只不过仅把tanx-sinx估计得很准还不足以解决问题而已。

2.上面的不白做，可以看出来tanx-sinx相消的程度，然后可以决定展开到三次再看上面的o(x)项的具体情况
e^(tanx)=1+tanx+tan^2x/2+tan^3x/6+o(x^3)
e^(sinx)=1+sinx+sin^2x/2+sin^3x/6+o(x^3)
于是
e^(tanx)-e^(sinx)
=(tanx-sinx)(1+(tanx+sinx)/2+(tan^2x+tanxsinx+sin^2x)/6)+o(x^3)
=tanx(1-cosx)(1+o(1))+o(x^3)
=x^3/2+o(x^3)

这种问题不要嫌麻烦，带上余项可以保证不出错，以我的能力可以一眼看出展开到3次，我写那么多只是让你明白全过程。